分析一 (Fall 2016) - 齊震宇 / 臺大數學系

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source: NTU CASE     2016年9月21日

分析一：【複變函數論簡介1】 複數意義下的可微分性；全純函數；Cauchy Riemann方程；複變函數的線積分；Cauchy積分定理 1:11:42
*勘誤：
(1) 25:14 - 25:20 這裡寫下的極限符號錯誤，正確的意思應該是 eta_1 與 eta_2 當 (x,y) 趨近於 (x_0, y_0) 時的極限均為零。
(2) 44:16 - 45:40 這段當中的兩行字裡的數量 r 應該全換成 r'。

分析一：【複變函數論簡介2】 利用Cauchy積分定理計算定積分/瑕積分；Cauchy積分公式 1:08:32
分析一：【複變函數論簡介3】 極大模原理；孤立奇點；全純函數在孤立奇點的Laurent展開；留數與留數定理。 1:39:04
分析一：【複變函數論簡介4】 孤立奇點分類：可移去的奇點、極點與本質奇點；全純函數接近孤立奇點時的性質。38:14
分析一：【複變函數論簡介5】 極大模原理的又一應用：Schwarz引理 16:27
分析一：【複變函數論簡介6】 幅角原理(the argument principle) 41:20
分析一：【複變函數論簡介7】 保角性；全純函數的(部分)反函數；對數函數 1:30:23
分析一：【複變函數論簡介8】 開映射原理 30:09
分析一：【複變函數論簡介9】 (討論)對數函數與開方根；幅角原理的名稱由來 54:17
分析一：【複變函數論簡介10】 複變數複數冪函數；複變數複數冪的二項式定理 26:26
分析一：【複變函數論簡介11】 Goursat定理：複數意義下逐點可微分則全純 46:30
分析一：【向量空間上的分析概念1】 向量空間、賦範空間、內積空間的一般概念 1:10:49
分析一：【向量空間上的分析概念2】 內積空間中的正交(orthogonal)族與么正族(orthonormal family)  27:57
分析一：【向量空間上的分析概念3】 內積空間中對么正族的投影；Bessel不等式；Fourier係數；Parseval條件  1:04:35
分析一：【函數的Fourier級數1】 連續函數的均勻逼近1：Cesàro求和與Fejér定理(以三角級數均勻逼近連續週期函數) 31:22
分析一：【函數的Fourier級數2】 連續函數的均勻逼近2：標準三角函數族在週期為2π的連續函數空間中滿足Parseval條件；Weierstrass逼近定理 58:49
分析一：【函數的Fourier級數3】Fourier級數收斂定理 1:14:35
分析一：【函數列的收斂子列1】函數族的等度連續性 20:46
分析一：【函數列的收斂子列2】從函數序列中製造均勻 32:44
分析一：【函數列的收斂子列4】 Peano關於具有連續設定的ODE的解的存在性定理 50:56
分析一：【選擇公理：等價敘述與應用1】  偏序、全序與良序；Zorn引理與Zermelo良序原理 1:52:24
分析一：【選擇公理: 等價敘述與應用2】 Zorn引理的一些基本應用: 集合基數的可比較性、向量空間中的線性獨立集均能擴充成基底、Hahn-Banach定理 1:18:58
分析一：【點集拓樸簡介1】 拓樸空間與映射連續性的觀念；緊緻性 41:54
分析一：【點集拓樸簡介2】 鄰域/近傍(neighborhood)與映射的連續性；拓樸空間中一子集的內點、外點、邊界點、孤立點、極限點、閉包與內部 24:26
分析一：【點集拓樸簡介3】閉包操作與聯集以及連續映射的關聯 19:48
分析一：【點集拓樸簡介4】幾種基本的分離性條件 13:05
分析一：【點集拓樸簡介5】 拓樸的粗(弱)與細(強)；預設某些 子集為開而得到的最粗拓樸-subbasis的觀念； 基(basis)與局部基(local basis) 42:58
分析一：【點集拓樸簡介6】 (習題檢討)閉包、內部、邊界與極限點的關係；對局部有限子集族求閉包與求聯擊集兩操作可以交換順序 27:47
分析一：【點集拓樸簡介7】 給定集合中怎樣的一組子集會形成某個拓樸的basis；第一可數性、第二可數性、可析性(separability)與Lindelöf性；幾個拓樸的例子 42:14
分析一：【點集拓樸簡介8】 Initial topology的概念；子空間拓樸；積拓樸 1:03:25
分析一：【點集拓樸簡介9】 final topology 的概念；等價關係、等價類與商集合；商拓樸(quotient topology)與商映射(quotient map)；開/閉映射必為商映射 1:19:01
分析一：【點集拓樸簡介10】 緊緻子集與緊緻空間；緊緻性、閉性與Hausdorff性的關聯；恰當映射(proper map)；從積空間到分量的投影映射是開映射；局部緊緻Hausdorff空間 49:16
分析一：【點集拓樸簡介11】 在拓樸空間上構造非常數的實數值連續函數；局部緊緻空間 55:02
分析一：【點集拓樸簡介12】 一些概念的序列描述；緊緻賦距空間、序列緊緻、全然有界與完備性 1:18:56
分析一：【點集拓樸簡介13】 序列概念的推廣─net(一) 47:29
分析一：【點集拓樸簡介14】 序列概念的推廣─net(二)：任何 net 都有 universal subnet 40:24
分析一：【點集拓樸簡介15】 序列概念的推廣─net(三)： 以net與universal net刻化緊緻性； Tychonoff 定理─緊緻空間的積空間亦緊緻 47:44
分析一：【點集拓樸簡介16】 一個Ascoli定理的推廣；相對緊緻子集 59:47
分析一：【點集拓樸簡介17】 緊緻空間上連續函數族的均勻閉包─Stone-Weierstrass逼近定理  1:14:53
分析一：【測度論1】 可測空間、可測映射；含有一子集族的最小 sigma-algebra；initial and final sigma-algebra；正測度 52:51
分析一：【測度論2.1】Borel sets與連續映射；trace sigma-algrbra；定義在子集上對於給定 sigma-algebra 為可測的廣義實數值函數 1:52:22
分析一：【測度論2.2】關於sigma代數與可測映射的一些註解 12:32
分析一：【測度論3.1】Lebesgue的積分理論 51:53
分析一：【測度論3.2】Lebesgue單調收斂定理；以單純函數單調逼近可測非負函數；Fatou引理 42:32
分析一：【測度論3.3】由積分造測度 10:48
分析一：【測度論4.1】複值可積函數的一般性質 9:14
分析一：【測度論4.2】Lebesgue控制收斂定理 22:04
分析一：【測度論5】幾乎處處(almost everywhere)的概念；完備測度空間；測度空間的完備化；擴充意義下的積分 51:32
分析一：【測度論6】幾個與積分有關且幾乎處處成立的性質 38:29
分析一：【測度論7】外測度1：外測度；Carathéodory構造─由外測度構造完備測度空間 23:19
分析一：【測度論8】外測度2：以「加權」覆蓋構造外測度；Lebesgue可測集與Lebesgue測度；正則性─outer regularity與... 1:36:56
分析一：【測度論9】Darboux-Riemann可積性 vs Lebesgue可積性：Darboux-Riemann可積性的Lebesgue判別法 31:20
分析一：【測度論10】測度與卡氏積1：monotone class characterization of product sigma-algebra；slices的可測性 46:25
分析一：【測度論11】測度與卡氏積2：積測度的定義 49:58
分析一：【測度論12】測度與卡氏積3：可測函數對積測度的積分與逐次積分(非負函數的情形)─Tonelli定理 22:51
分析一：【測度論13】測度與卡氏積4：可測函數對積測度的積分與逐次積分(可積函數的情形)─Fubini定理 27:03
分析一：【測度論14】可測函數序列不同型態的收斂及其關聯─幾乎處處收斂、測度意義下收斂與平均意義下收斂；Egoroff定理 1:53:29